Mosaicos y teselas

Los romanos al igual que otros pueblos de la antigüedad entendían el mosaico como una pintura en piedra, que se plasmaba uniendo pequeñas piezas llamadas teselas de forma troncopiramidal, hechas de cerámica, vidrio o caliza, que permitía combinar los colores según las necesidades del artista, mediante una argamasa que rellenaba los huecos dejados por la forma irregular de las teselas. De ahí que se refiriesen a ellos como opus tessellatum.

La variedad de motivos, planteamientos constructivos y técnicas de ensamblado hacen de cada uno de ellos una joya única e irrepetible. (figura adjunta)

Si nos centramos en mosaicos formados con polígonos de cualquier tipología, iguales o no, e imponemos además la condición de que sus bordes encajen exactamente (sin huecos para la argamasa) y además que pueda crecer indefinidamente, la variedad obtenida es muy notable, pero aparece un límite frente a la inmensa variedad de los modelos de piezas irregulares.

La Alhambra, como la mayoría de los palacios o edificios públicos islámicos, nos ofrece en sus azulejerías una buena muestra de estos diseños.

Cuando, por fin utilizamos polígonos regulares y de una sola clase en el teselado a construir (mosaicos comunes), podemos resumir las condiciones exigibles mediante la expresión:
2C + 2P = CP

donde C es el número de vértices del polígono concurrentes en cada nudo y P es el número de caras del polígono considerado.

La representación gráfica de esta ecuación (en la que, por razones obvias, solo consideraremos valores enteros) muestra que solo tres polígonos satisfacen estos requisitos: el hexágono, el cuadrado y el triángulo.

Encontramos muestras por doquier de estos modelos en las obras del hombre y en la naturaleza.

Resulta notable que al yuxtaponer en cada nudo menos elementos de los que exige la expresión, debemos forzar las piezas para acercar sus bordes, abandonando la superficie plana y plegándose en el espacio hasta converger en un objeto cerrado: estamos frente a los sólidos platónicos, los 5 poliedros regulares, pero esta es otra cuestión. (figura adjunta)

Una de las características de los mosaicos comunes (y de muchos otros) es la simetría: de traslación, en la que podemos tomar una parte cualquiera y mediante un desplazamiento (sin rotación) hacer que coincida exactamente con otra parte idéntica del mismo o bien de rotación y reflexión en las que conseguimos el mismo propósito girando en torno a un punto o reflejando respecto a un elemento adecuado (sin desplazamiento).

En definitiva goza de periodicidad, en el sentido de que los elementos o motivos del mismo se repiten indefinidamente, manteniendo su semblanza en toda su extensión.

En 1974 Sir Roger Penrose, inspirándose en algunos trabajos de Johannes Kepler (1571 - 1630), propuso una nuevo modelo de teselación, basado en piezas derivadas de la segmentación del pentágono.

Como hemos visto el pentágono no forma mosaicos planos (puede plegarse en el espacio formando dodecaedros) pero presenta propiedades notables como la proporción áurea entre diversos elementos que lo componen.

Gracias a esta característica, de la escisión del pentágono en diversos elementos derivan las teselas de Penrose, de las que existen algunas variedades. Hablaremos solamente de los rombos (omitiendo estrellas, flecha y cometas).

La peculiaridad de los rombos de Penrose estriba en que, además de permitir algunas teselaciones periódicas (como en los mosaicos tradicionales) pueden disponerse en formas no periódicas, es decir, con patrones de diseño que no se vuelven a repetir.

Ambas figuras presenta lados con la misma longitud y ángulos de 72º y 108º y de 36º y 144º respectivamente que expresados convenientemente, corresponden a valores de 2 y 3 y de 1 y 4 (décimas partes de circunferencia) en cada caso.

Queda claro que el rombo más grueso posee ángulos interiores de 2 + 3 + 2 + 3 = 10 décimas partes mientras que, el rombo más fino por la suya, presenta 1 + 4 + 1 + 4 = 10 décimas partes de circunferencia (como todos los cuadriláteros). (figura adjunta)

Un nudo creado con estas piezas deberá respetar las normas que hemos aplicado a los mosaicos construidos mediante polígonos, básicamente que los ángulos interiores de los vértices de los polígonos concurrentes en un nudo sumen un círculo completo, por tanto deberán sumar entre todos 10 décimas partes.

¿Con qué elementos montamos el primer nudo de nuestra malla de Penrose?

Veamos algunas posibilidades: una de ellas sería disponer de 5 rombos gruesos por el ángulo 2 (el más agudo), lo que daría 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 satisfaciendo nuestra condición de "no argamasa", en lo sucesivo (2,2,2,2,2) pero, evidentemente hay muchas mas opciones: (4,4,2), (4,3,3), (3,3,2,2), (3,2,3,2), (4,3,2,1)... ¿cuántas más?... (figura adjunta)

Hay 54 formas posibles de empezar, pero de ellas solo 7 garantizan un mosaico aperiódico.

Una diferencia notable con los mosaicos comunes (periódicos) consiste en que mientras en ellos las posibilidades de colocación de teselas en el primer nudo y nudos adyacentes esta prefijada de antemano, es decir, no existe ninguna posibilidad de elección, en algunos de los mosaicos de Penrose los nudos adyacentes al primer nudo mantienen esta variedad de posibilidades, por lo menos dos, que permiten un crecimiento exponencial al número de modelos posibles, conforme aumenta el número de teselas colocadas.

Es bien conocida la historia de los granos de trigo en las casillas del tablero de ajedrez, cuya proliferación (exponencial) permite arruinar el más hacendado de los monarcas: estamos ante una situación análoga. (figura adjunta)

1,2,3,4 son los primeros números que aprendemos, lo más simple frente a lo más complejo, números que representan ángulos capaces de generar patrones cuya diversidad va más allá de nuestra capacidad de sorpresa, cuya belleza sobrepasa nuestra capacidad de admiración, como sucede con las cosas que nos ofrece el mundo en el que se nos ha regalado vivir.
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